Rangkuman Momentum sudut partikel

Momentum Sudut partikel

Gambar 6.6 melukiskan sebuah titik partikel yang bermassa m sedang melakukan gerak rotasi 
dengan jari-jari lintasan R dan dengan kecepatan v. Arah kecepatan sebuah titik partikel yang 
melakukan gerak rotasi pada suatu titik merupakan arah garis singgung di titik tersebut. 
Selama titik partikel melakukan gerak rotasi, karena mempunyai massa dan kecepatan maka titik partikel tersebut mempunyai momentum.

Momentum yang dimiliki oleh titik partikel yang melakukan gerak rotasi disebut dengan momentum sudut (momentum anguler), yang diberi lambang dengan L. Besar dari momentum sudut dinyatakan dengan persamaan:

m = massa (kg) 
v = kecepatan (m/s) 
R = jari-jari lintasan (m) 
L = momentum sudut (kg m^2/s) 

Dari persamaan L = m . v . R didapat m . v = p (momentum linier) sehingga didapat: 
p = momentum partikel
R = vektor posisi partikel 

Arah momentum sudut dapat dicari dengan aturan tangan kanan yaitu ketika kita mengepalkan keempat jari kita dari arah R ke arah P maka arah ibu jari menunjukkan arah momentum sudut L. Lihat gambar 6.7 di bawah ini:

MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR

Momentum Sudut dari Benda Tegar Berotasi

Pada Contoh 11.4, kita menganggap momentum sudut dari sistem yang dapat berubah bentuk. sekarang mari kita membatasi perhatian kita ke sistem nondeformable (tak dapat berubah bentuk), benda tegar (objek kaku). Perhatikan benda tegar yang berputar pada sumbu tetap yang bertepatan dengan sumbu z dari sistem koordinat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11.7. Mari kita tentukan momentum sudut obyek ini. Setiap partikel objek yang berputar dalam bidang xy di sekitar sumbu z dengan kecepatan sudut w. Besarnya momentum sudut dari partikel bermassa m_i sekitar sumbu z adalah m_iv_ir_i. Karena v_i = r_i w (Persamaan 10.10), kita dapat mengekspresikan besarnya momentum sudut partikel ini sebagai:

L_i = m_ir_i²w

Vektor L_i untuk partikel ini diarahkan sepanjang sumbu z, seperti vektor w.

Kita sekarang dapat menemukan momentum sudut (yang dalam situasi ini hanya memiliki komponen z) dari seluruh objek dengan mengambil jumlah dari L_i seluruh partikel:

L_z = ∑_i L_i =∑_i m_ir_i²w = (∑_i m_ir_i² ) w

 

L_z =I w                                                          (11.14)

di mana kita telah mengetahui ∑_i m_ir_i²  sebagai momen inersia I dari objek di sekitar sumbu z (Persamaan 10,15).

Sekarang mari kita diferensialkan Persamaan 11.14 terhadap waktu, mencatat bahwa I adalah konstan untuk benda tegar:

                                                 (11.15)

dimana a adalah percepatan sudut relatif terhadap sumbu rotasi. Karena dL_Z/dt adalah sama dengan torsi eksternal total (Lihat Persamaan 11.13), kita dapat mengekspresikan Persamaan 11.15 sebagai:

∑t_ext = I a                                                          (11.16)

Artinya, torsi eksternal total yang bekerja pada benda tegar yang berputar pada sumbu tetap sama dengan momen inersia terhadap sumbu rotasi dikalikan dengan percepatan sudut objek relatif terhadap sumbu. Hasil ini sama dengan Persamaan 10.21, yang diturunkan menggunakan pendekatan gaya, tapi kita turunkan Persamaan 11.16 menggunakan konsep momentum sudut. Seperti yang kita lihat dalam Bagian 10.7, Persamaan 11.16 adalah representasi matematis dari benda tegar di bawah model analisis torsi total. Persamaan ini juga berlaku untuk benda tegar yang berputar pada sumbu bergerak, disediakan sumbu bergerak (1) melewati pusat massa dan (2) adalah sumbu simetri.

Jika objek simetris berputar pada sumbu tetap melewati pusat massanya, Anda dapat menulis Persamaan 11.14 dalam bentuk vektor sebagaiL = Iw, di mana L adalah total momentum sudut objek yang diukur terhadap sumbu rotasi. Selain itu, ekspresi ini berlaku untuk objek apapun, terlepas dari simetri, jika L singkatan untuk komponen dari momentum sudut sepanjang sumbu rotasi.

Analisis Model: Sistem Terisolasi (Momentum Sudut)

Dalam Bab 9, kita menemukan bahwa total momentum linier dari sistem partikel tetap konstan jika sistem terisolasi, yaitu jika gaya eksternal total yang bekerja pada sistem adalah nol. Kita memiliki hukum kekekalan yang analog dalam gerak rotasi:

Total momentum sudut sistem adalah konstan dalam kedua besar dan arah jika torsi eksternal total yang bekerja pada sistem adalah nol, yaitu jika sistem terisolasi.

Pernyataan ini sering dinamakan prinsip kekekalan momentum sudut dan merupakan dasar dari versi momentum sudut dari model sistem yang terisolasi. Prinsip ini mengikuti langsung dari Persamaan 11.13, yang menunjukkan bahwa jika

                                                     (11.17)

Maka:

L_tot = konstan     atau     L_i = L_f                           (11.18)

Untuk sebuah sistem yang terisolasi yang terdiri dari sejumlah partikel, kita menulis hukum kekekalan ini sebagai L_tot = ∑L_n = konstan, di mana indeks n menunjukkan partikel n dalam sistem.

Jika sistem yang berputar terisolasi dapat berubah bentuk sehingga massanya mengalami redistribusi dalam beberapa cara, momentum inersia sistem berubah. Karena besarnya
dari momentum sudut sistem adalah L = Iw(Persamaan 11.14), konservasi momentum sudut mensyaratkan bahwa produk I dan wharus tetap konstan. Oleh karena itu, perubahan dalam I untuk sistem yang terisolasi membutuhkan perubahan dalam w. Dalam hal ini,
kita dapat mengekspresikan prinsip kekekalan momentum sudut sebagai:

I_iw_i = I_fw_f = konstan                                           (11.19)

Ungkapan ini berlaku baik untuk rotasi pada sumbu tetap dan untuk rotasi terhadap suatu sumbu melalui pusat massa sebuah sistem yang bergerak sepanjang sumbu yang dengan tetap arah. Kita hanya mensyaratkan torsi eksternal total menjadi nol.

Banyak contoh menunjukkan konservasi momentum sudut untuk sistem deformable (berubah bentuk). Anda mungkin telah mengamati skater yang berputar di akhir dari sebuah program (Gambar 11.10). Kecepatan sudut skater besar ketika tangan dan kaki yang dekat dengan batang tubuhnya. (Perhatikan rambut skater!) Mengabaikan gesekan antara skater dan es, tidak ada torsi eksternal pada skater. Momen inersia dari tubuh meningkat seperti tangan dan kaki menjauh dari tubuhnya saat finish spin. Menurut prinsip kekekalan momentum sudut, kecepatan sudut nya harus menurun. Dalam cara yang sama, ketika pengemudi atau akrobat ingin membuat beberapa gerak jungkir balik, mereka menarik tangan dan kaki dekat dengan tubuh mereka untuk berputar pada tingkat yang lebih tinggi mereka. Dalam kasus ini, gaya eksternal karena gravitasi bekerja melalui pusat massa dan karenanya tidak diberikannya torsi terhadap suatu sumbu melalui titik ini. Oleh karena itu, momentum sudut tentang pusat massa harus dilestarikan, yaitu, I_iw_i = I_fw_f. Misalnya, ketika pengemudi ingin menggandakan kecepatan sudut, mereka harus mengurangi momen inersia mereka setengah nilai awalnya.

Dalam Persamaan 11.18, kita memiliki versi ketiga dari model sistem yang terisolasi. Kita sekarang dapat menyatakan bahwa energi, momentum linear, dan momentum sudut dari sistem terisolasi adalah konstan:

E_i = E_f        (jika tidak ada transfer energi melintasi batas sistem)
p_i = p_f         (jika gaya eksternal total pada sistem adalah nol)
L_i = L_f        (jika torsi eksternal total pada sistem adalah nol)

Suatu sistem dapat diisolasi dalam hal satu bentuk ini tetapi tidak dalam hal lain. Jika sistem ini nonisolasi dalam hal momentum atau momentum sudut, itu sering akan nonisolated juga dalam hal energi karena sistem memiliki gaya total atau torsi di atasnya dan gaya total atau torsi akan melakukan usaha pada sistem. Kita bisa, bagaimanapun, mengidentifikasi sistem yang nonisolated dalam hal energi tapi sistem terisolasi dari segi momentum. Sebagai contoh, bayangkan untuk mendorong  pada sebuah balon (sistem) antara tangan Anda. Gaya ini dilakukan untuk meniup balon, sehingga sistem ini nonisolated dalam hal energi, tapi ada nol gaya total pada sistem, sehingga sistem ini terisolasi dari segi momentum. Sebuah pernyataan yang sama dapat dibuat tentang memutar ujung panjang, sepotong logam kenyal dengan kedua tangan. Usaha ini dilakukan pada logam (sistem), sehingga energi yang tersimpan dalam sistem nonisolated sebagai energi potensial elastis, tetapi torsi total pada sistem adalah nol. Oleh karena itu, sistem ini terisolasi dari segi momentum sudut. Contoh lain adalah tumbukan benda makroskopik, yang merupakan sistem yang terisolasi dalam hal momentum, tetapi sistem nonisolated dalam hal energi karena output energi dari sistem dengan gelombang mekanik (suara) (Serway, 2010:326-330).

Contoh Soal Momentum Sudut

1. Suatu benda mempunyai momen inersia 2 kg m² dan berotasi pada sumbu tetap dengan kecepatan sudut 1 rad/s. Berapa momentum sudut benda tersebut ?
Pembahasan
Diketahui :
Momen inersia (I) = 2 kg m²
Kecepatan sudut (ω) = 1 rad/s
Ditanya : Momentum sudut (L)
Jawab :
Rumus momentum sudut :
L = I ω
Keterangan : L = momentum sudut (kg m²/s), I = momen inersia (kg m²), ω = kecepatan sudut (rad/s)
Momentum sudut :
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m²/s

2. Katrol cakram pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 meter. Jika katrol bergerak rotasi pada porosnya dengan kecepatan sudut konstan 2 rad/sekon, berapa momentum sudut katrol ?
Pembahasan
Diketahui :
Massa katrol cakram pejal (m) = 2 kilogram
Jari-jari katrol cakram pejal (r) = 0, 1 meter
Kecepatan sudut (ω) = 2 radian/sekon
Ditanya : Momentum sudut katrol
Jawab :
Rumus momen inersia cakram pejal jika berotasi pada poros seperti pada gambar :
I = 1/2 m r²
Keterangan : I = momen inersia (kg m²), m = massa (kg), r = jari-jari (meter)
Momen inersia cakram pejal :
I = 1/2 (2)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²

Momentum sudut :
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²/s

3. Bola pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,2 meter berotasi terhadap porosnya dengan kecepatan sudut 4 rad/s. Tentukan momentum sudut bola pejal!
Pembahasan
Diketahui :
Massa bola pejal (m) = 2 kilogram
Jari-jari bola pejal (r) = 0,2 meter
Kecepatan sudut (ω) = 4 radian/sekon
Ditanya : Momentum sudut bola pejal
Jawab :
Rumus momen inersia bola pejal jika berotasi pada poros seperti pada gambar :
I = (2/5) m r²
Keterangan : I = momen inersia (kg m²), m = massa (kg), r = jari-jari (meter)
Momen inersia bola pejal :
I = (2/5)(2)(0,2)² = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m²

Momentum sudut bola pejal :
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m²/s

4. Benda bermassa 1 kg bergerak melingkar dengan kecepatan sudut tetap 2 rad/s. Tentukan momentum sudut jika jari-jari lintasan partikel 10 cm.
Pembahasan
Diketahui :
Massa benda (m) = 1 kilogram
Jari-jari bola pejal (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 meter
Kecepatan sudut (ω) = 2 radian/sekon
Ditanya : Momentum sudut
Jawab :
Rumus momen inersia partikel :
I = m r² = (1)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²

Momentum sudut :
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²/s

5. Sebuah piringan berbentuk silinder pejal homogen mula-mula berputar pada porosnya dengan kelajuan sudut 5 rad/s. Bidang piringan sejajar bidang horizontal. Massa dan jari-jari piringan 2 kg dan 0,2 meter. Bila di atas piringan diletakkan cincin yang mempunyai massa 0,1 kg dan jari-jari 0,2 meter, di mana pusat cincin tepat di atas pusat piring, maka piringan dan cincin akan bersama-sama berputar dengan kecepatan sudut…
Pembahasan
Diketahui :
Massa silinder pejal (m₁) = 2 kilogram
Jari-jari silinder pejal (r₁) = 0,2 meter
Kelajuan sudut silinder pejal (ω₁) = 5 rad/s
Massa cincin (m₂) = 0,1 kilogram
Jari-jari cincin (r₂) = 0,2 meter
Ditanya : Kelajuan sudut silinder dan cincin
Jawab :
Momen inersia silinder pejal : I = 1⁄2 m₁r₁² = 1⁄2 (2)(0,2)² = (1)(0,04) = 0,04 kg m²
Momen inersia cincin : I = m r² = (0,1)(0,2)² = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m²
Momen inersia silinder pejal dan cincin (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m²

Momentum sudut awal (L₁) = Momentum sudut akhir (L₂)
I₁ ω₁ = I₂ ω₂
(0,04)(5) = (0,044)(ω₂)
(0,2) = (0,044)(ω₂)
ω₂ = 0,2 : 0,044
ω₂ = 4,5 rad/s

6. Seorang penari balet berputar dengan tangan terentang sepanjang 150 cm dan kecepatan sudut 10 radian/sekon. Lalu penari melipat tangannya menjadi 75 cm sepanjang siku. Berapa kecepatan sudut akhir ?
Pembahasan
Diketahui :
Jari-jari 1 (r₁) = 150 cm = 1,5 meter
Jari-jari 2 (r₂) = 75 cm = 0,75 meter
Kecepatan sudut 1 (ω₁) = 10 rad/s
Ditanya : Kecepatan sudut 2 (ω₂)
Jawab :
Momen inersia awal : I₁ = m r₁² = (m)(1,5)² = 2,25 m
Momen inersia akhir : I₂ = m r₂² = (m)(0,75)² = 0,5625 m

Momentum sudut awal (L₁) = Momentum sudut akhir (L₂)
I₁ ω₁ = I₂ ω₂
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω₂)
22,5 m = (0,5625 m)(ω₂)
22,5 = (0,5625)(ω₂)
ω₂ = 22,5 / 0,5625
ω₂ = 40 rad/s